如何证明1+1=2?

要证明 1+1=2，我们需要依赖皮亚诺公理，皮亚诺公理指出：1. 0是自然数且0是自然数的起点 2. 每一个自然数都有一个后继数且后继数也是自然数 3. 0不是任何自然数的后继数。以下我基于该定理展开证明

定义

基于皮亚诺公理，我定义一个算子$S(·)$，其作用是求一个自然数的后继数。

\[S(0) = 1\\ S(1) = 2\]

定义$+$运算，并定义0为$+$运算的零元：

\[对于任一自然数 n，有n+0=n\]

结合算子$S(·)$，有以下定义：

\[n + S(m) = S(m+n)\]

证明

证明 $1+1=2$:

\[\because 1 = S(0)\\ \because 2 = S(1)\\ \therefore 2 = S(S(0))\\ \because 1+1 = 1+S(0) = S(1+0)\\ \therefore 1+1 = S(1) = 2\]

接下来可以证明 $4+1=5$:

\[\because 4 + 1 = 4 + S(0) = S(4 + 0)\\ \therefore 4 + 1 = S(4) = 5\]

对于减法 $4-1=3$，证明如下：

\[假设 4 - x = 3, 那么 4 = x + 3\\ \because S(3) = 0 + S(3) = S(0 + 3)\ = S(0) + 3\\ \therefore S(3) = 1 + 3\\ \because 4 = S(3)\\ \therefore 4 = 1 + 3, 4 - 1 = 3\]